concave polygon

길거리를 걷거나 책을 보다 보면 가끔 예쁜 그림이나 디자인을 보는 경우가 있다. 이러한 그림이나 디자인을 보면 다양한 종류의 문양들이 있다는 생각을 하곤 한다. 이러한 문양들 중에 수학적인 이름을 가진 것도 있고 없는 것도 있다. 그렇다면 별 모양의 도형은 어떨까? 동양과 서양을 불문하고 별 모양의 다양한 문양들이 예술작품, 카펫, 국가 상징물, 타일, 훈장 등에 사용되고 있다. 이러한 별 모양의 무늬들의 기하학적 공통점을 보면 다음 세 가지로 정리된다.

첫째, 별 모양은 곧은 선분으로만 이루어져 있다.    둘째, 모든 선분의 길이는 서로 같다.    셋째, 뾰족한 부분 및 오목한 부분끼리는 각의 크기가 서로 같다.

수학에서 곧은 선분으로만 둘러싸인 도형은 다각형이다. 또한 모든 선분의 길이와 각의 크기가 같은 도형은 정다각형이라고 부른다. 이를 통해 볼 때, 별 모양 도형의 수학적 이름이 존재한다면 정다각형의 관점에서 찾아 보는 것이 가장 자연스럽다. 별 모양을 하고 있는 도형의 수학적인 이름이 존재하는지? 존재한다면 어떻게 부르는 것이 적절한지에 대해 살펴 보자.

동양과 서양을 불문하고 별 모양의 다양한 문양들이 예술작품, 카펫, 국가 상징물, 타일, 훈장 등에 사용되고 있다.
<출처: (cc) Karl Frankowski (7각별), (cc) sailko at Wikipedia.org (8각별)>

오목 다각형과 볼록 다각형? 다각형이란 꼭짓점을 선분으로 연속적으로 연결하였을 때, 이들 선분으로 둘러싸인 도형이다.  따라서 원이나 타원은 다각형이라고 부를 수 없다. 단지 곧은 선분을 이어서 만든 도형만이 다각형이 될 수 있다. 다각형은 크게 볼록 다각형과 오목 다각형으로 나눌 수 있고, 볼록 다각형은 아래 그림과 같이 모든 대각선이 그 다각형의 내부에 존재하는 다각형이다.

볼록 다각형.

반면 오목 다각형은 아래 그림과 같이 대각선 중 단 한 개라도 그 다각형의 외부에 존재하는 다각형이고, 볼록 다각형이 아닌 것은 모두 오목 다각형이다.

오목 다각형.

정다각형과 원 별 모양 도형의 이름을 찾기 위해 정다각형의 정의에 대해 알아보자. 정다각형은 다음 두 가지 조건을 만족하는 다각형을 의미한다.

첫째, 다각형을 이루는 모든 변의 길이는 같다.    둘째, 꼭짓점에서 만들어지는 모든 내각의 크기는 같다.

따라서 정삼각형은 세 변의 길이가 같고 내각의 크기가 모두 60°인 다각형이고, 정사각형은 네 변의 길이가 같고 내각의 크기가 모두 90°인 다각형이며, 정오각형은 다섯 변의 길이가 같고 다섯 내각이 모두 108°인 다각형이다. 이러한 정다각형의 정의에 의해 모든 정다각형은 아래 그림과 같이 원 위에 내접시킬 수 있다.

모든 정다각형은 원에 내접한다.

오목한 정다각형 만들기 그런데 앞에서 다룬 정다각형은 모두 볼록하므로 볼록 정다각형이라고 부른다. 학교에서는 이러한 볼록한 정다각형만을 다루는 것 같다. 그럼, 오목한 정다각형은 존재할까 라는 궁금증이 생길 수 있을 것 같다. 오목 정다각형을 만들기 전에 정다각형의 조건 두 가지를 다시 살펴보자.

첫째, 다각형을 이루는 모든 변의 길이는 같다.    둘째, 꼭짓점에서 만들어지는 모든 내각의 크기는 같다.

위의 두 조건 중에서 정다각형을 만들기 위해서 의미가 있는 것은 두 번째 조건이다. 왜냐하면, 변의 길이는 길든 짧든 동일하게 유지하면 되고, 각의 크기에 의해 정다각형의 종류가 결정되기 때문이다. 예를 들어, 정오각형의 경우, 아래 그림과 같이 한 변의 길이를 결정한 상태에서 108°가 유지되도록 연속적으로 변을 그어주면 된다.

볼록한 정오각형 그리기.

이제 한 각의 크기가 36°인 정다각형을 위와 같은 방법으로 그려 보자. 어떤 정다각형이 되는지 아래 그림을 통해 알아 보자.

별 모양, 즉 오목한 정오각형 그리기.

5각별 모양의 다각형은 정다각형의 정의에 의해서 오목한 정오각형임에 분명하다. 일반적인 정오각형과 구분하기 위해 오목 정오각형이라고 부르도록 하자. 별 모양은 모두 오목 정다각형은 아니다? 앞의 정의에 따르면 아래 그림과 같은 6각별, 8각별, 9각별은 정다각형이 될 수 없다. 왜냐하면, 위의 별 모양 도형들은 한 선분을 결정한 상태에서 일정한 각(60° 또는 90°)이 유지되도록 연속적으로 변을 긋더라도 만들 수 없기 때문이다.

별 모양이 모두 오목한 정다각형은 아니다.

즉, 꼭짓점들 사이를 선분으로 연속적으로 연결하더라도, 단 한 번 만에 위의 별을 완성할 수 없다는 것이다. 콕스터(Coxeter) 등의 예전의 학자들은 이들을 정다각형으로 받아들이기도 했는데, 현재 다수의 수학자들은 이들을 정다각형으로 보지 않는 그륀바움(Grünbaum)의 관점에 찬성하고 있다. 이러한 이유로 인해 별 모양의 정다각형(Regular star polygons)을 별도로 구분하여 고찰하기도 한다.  오목 정n각형은 유일할까? 볼록한 정다각형은 오직 한 종류만 있다. 예를 들어, 정오각형은 한 종류밖에 없고, 정육각형도 오직 한 종류밖에 없다. 이러한 성질이 오목 정다각형에도 유지될까? 결론부터 말하면 그렇지 않다는 것이다. 오목 정5각형처럼 오직 한 종류만 존재하는 경우도 있지만, 오목 정7각형처럼 그렇지 않은 경우도 많다. 오목 정7각형은 아래 그림과 같이 두 종류가 가능하다.

오목 정 7각형은 2가지가 가능하다.

위 왼쪽 그림의 오목 정7각형의 경우, 전체 내각의 총합이 540°이므로 한 내각의 크기가 (540/7)°인 정다각형이고, 위 오른쪽 그림의 오목 정 7각형은 전체 내각의 총합이 180°이므로 한 내각의 크기가 (180/7)°인 정다각형이다. 정b/a각형 오목 정7각형이라고 부를 때, 앞의 두 그림 중에서 어떤 도형을 지칭하게 되는가? 두 대상을 하나의 이름으로 부르는 것은 여간 불편한 것이 아니다. 게다가 수학에서는 작은 혼란을 초래할 수도 있다. 따라서 이러한 문제를 해결하기 위해 새로운 이름이 필요하다. 정다각형에서 중요한 것은 변이 아니라, 한 내각의 크기다. 한 내각의 크기가 결정되면 한 종류의 정다각형만 만들 수 있다. 따라서 한 내각의 크기를 이용해서 새로운 이름을 붙인다. 정 n 각형의 한 내각의 크기 d는 아래와 같다.

첫째, 이 공식을 한 내각의 크기가 (540/7)°인 오목 정7각형에 적용해 보자.

따라서 한 내각의 크기가 (540/7)°인 오목 정7각형은 정7/2각형으로 부를 수 있겠다. 둘째, 한 내각의 크기가 (180/7)°인 오목 정7각형에 적용해 보자.

따라서 한 내각의 크기가 (180/7)°인 오목 정7각형은 정 7/3각형으로 부를 수 있다. 이와 같은 방식에 따르면, 위에서 설명한 5각별 형태의 다각형은 정 5/2각형이 된다. 정 8/3각형 그리기 그러면, 마지막으로 정8/3각형을 어떻게 그릴 수 있는지 살펴보자. 첫째, 한 내각의 크기를 결정한다.

둘째, 한 변의 길이를 결정하고, 아래 그림과 같이 내각이 45°가 되도록 순차적으로 변을 그린다.

정8/3각형 그리기.

1. 정다각형의 견해에 관한 참고논문
   - Coxeter, H. S. M. (1948). Regular Polytopes. Methuen and Co.
   - Grünbaum, B. (2003). Are your polyhedra the same as my polyhedral. Springer.