chaos theory and butterfly effect

자연에는 우리가 예측하지 못하는 현상이 무수히 많이 일어난다. 특히, 아주 작은 초기 조건의 변화에도 결과가 예측할 수 없이 크게 달라지는 현상들이 있는데, 이러한 현상을 설명하는 이론이 카오스 이론(chaos theory)이다. 카오스 이론을 설명할 때 자주 등장하는 말 중 하나가 나비효과(butterfly effect)인데, 많은 사람들이 나비효과를 카오스 이론으로 동일시하거나 혼동하곤 한다. 사실, 나비효과는 카오스 이론에 의해 나타나는 현상 중 하나로, 서울의 나비 한 마리가 날개 짓하여 동경에 폭풍을 휘몰아치게 할 수 있다는 것이다. 이처럼 카오스 이론에 의해 나타나는 현상들은 자연계의 결정론적 운동이 아닌 자연의 복잡성, 비예측성, 불규칙성, 비주기성 때문에 생긴다.

과천과학관 기초과학관 수학존에는 카오스 운동의 특징을 관찰할 수 있도록 제작한 '카오스 수차' 전시물이 있다.

카오스 수차

국립과천과학관 기초과학관 수학 존에는 초기 조건에 민감한 카오스 운동의 특징을 관찰할 수 있도록 제작한 ‘카오스 수차’ 전시물이 있다. 전시물은 매우 간단한 원리로 구성되어 있다. 일정한 간격으로 8개의 컵을 원형으로 수차에 매달고, 수차의 상부 중앙에서는 계속 일정한 양의 물을 흘려준다. 이렇게 하면 물이 떨어지는 지점(수차 상부 중앙)에 있는 컵부터 물이 채워지는데, 이 컵은 왼쪽과 오른쪽 중 무거운 쪽으로 돌기 시작한다. 수차가 돌면서, 물이 떨어지는 지점을 지나가는 컵에는 계속해서 물이 조금씩 채워진다. 이러한 과정이 반복되면서 수차의 왼쪽과 오른쪽에 위치한 컵들의 무게는 수시로 달라지게 된다. 그래서, 수차의 회전 속도 또한 느려지기도 하고 빨라지기도 한다. 또한, 경우에 따라서는 수차가 정지했다가 반대로 돌기도 한다. 그런데 우리는 이러한 과정이 일어나는 동안 수차가 어떤 방향으로 돌아갈지, 어떤 속도로 돌지에 대해 전혀 예측할 수 없다. 즉, 비예측성이 나타나는 것이다.

카오스 수차. 초기 조건에 민감한 카오스 운동의 특징을 관찰할 수 있다. 기상학자 에드워드 로렌츠의 이름을 따 로렌츠 휠(Lorenz Wheel)로도 불린다.

카오스 이론은 뭐지? 카오스는 우주가 발생하기 이전의 원시상태, 텅 빈 공간을 뜻하는 그리스어로 흔히 혼돈이라는 뜻으로 번역되어 사용되고 있다. 카오스가 우주탄생 이전의 상태를 표현하는 말로 쓰인다면, 코스모스는 우주의 질서와 조화를 나타내는 의미로 쓰인다. 카오스 이론은 1900년대 물리학계에서 3체 문제, 난류 및 천체 문제 등 비선형 동역학을 연구하는 과정에서 출발하였는데, 1961년 미국의 기상학자 에드워드 로렌츠(Edward Lorenz, 1917~2008)가 기상 모델을 연구하다가 나비효과를 발표하면서부터 이론적 발판을 마련하였다. 이어 수학자 제임스 요크(James A. Yorke, 1941~)는 1975년 카오스에 대해 무질서 속에 숨어 있는 어떤 패턴이라고 표현하였다. 이후 카오스 이론은 질서를 가진 무질서를 연구하는 분야로써 수학, 물리학, 기상학, 천문학 등 과학 분야뿐 아니라 경제학, 의학 등 다양한 분야에서 활발하게 연구가 진행 중이다.

카오스 이론은 1961년 에드워드 로렌츠가 나비효과를 발표하면서 이론적 발판을 마련하였다. <출처: Gettyimages>

그렇다면, 나비효과라는 말은 누가 처음 사용했을까? 에드워드 로렌츠는 좀 더 정확한 기후 예측을 위해 기상모델을 만들었다. 이 모델은 복잡한 대기 현상을 시뮬레이션하여 기후를 예측할 수 있도록 만든 것이었다. 즉, 기온, 기압, 풍속 등 기후에 영향을 주는 요인들이 포함된 간단한 방정식 모델을 통해 시간에 따른 대기 현상을 예측하는 것이다. 로렌츠는 1961년 이 모델의 시뮬레이션 계산에 들어갈 입력 값 0.506127 대신 간단하게 0.506을 입력했다. 그 결과, 아주 작은 입력 값의 변화에도 시뮬레이션 결과가 완전히 다른 실험값이 도출되었다. 로렌츠는 1963년에 이 결과를 뉴욕과학아카데미에 “한 기상학자의 이론이 맞다면, 갈매기의 날개 짓이 날씨의 과정을 영원히 바꿀 수 있다.”라는 제목의 논문으로 발표했다. 이후, 로렌츠는 강연과 논문에서 갈매기 대신 더 시적인 나비를 사용했으며, 1972년 “제139차 과학 발전을 위한 미국협회”에서는 “브라질에서 나비의 날개 짓 한번이 텍사스에 토네이도를 몰고 오는가?”라는 제목으로 발표를 했다.

하지만, 이 제목은 로렌츠가 발표 제목을 적어내지 않아 학회 세션 의장인 필립 머릴리스(Philip Merilees)가 만든 제목이었다. 나비라는 단어는 머릴리스가 처음 사용한 것은 아니고, 1969년 조셉 스마고린스키(Joseph Smagorinsky)의 논문에서 처음으로 사용된 것으로 밝혀졌다. 로렌츠도 자기의 논문을 통해 그것을 인정하고 있다. 로렌츠는 2006년 자신의 논문에서 “제139차 과학 발전을 위한 미국협회 발표 제목은 머릴리스가 지었는데, 나비라는 표현은 머릴리스가 스마고린스키의 논문을 보고 갈매기 날개 대신 따온 것이라고 생각한다” 라고 밝히면서 스마고린스키를 “the original butterfly man”으로 칭하고 싶다고 언급했다.

카오스 이론의 응용, 주가예측 해볼까?

“미국 신용을 잃다… 세계경제 카오스 속으로”, 이것은 2011년 8월, 모 일간지에서 미국 신용등급이 최고 등급에서 한 단계 낮은 단계로 내려가면서 미국의 신용 하락이 세계경제에 미치는 파급력을 강조하기 위해 사용된 기사 타이틀이다. 세계경제의 불확실성을 카오스 이론에 빗대어 표현한 것이다. “카오스에 빠진 버스”, 이것은 출근 시간에 버스가 한참을 기다려도 오지 않다가 올 때는 한꺼번에 두 대가 연속으로 오는 것처럼 불규칙적인 버스 운행간격을 카오스 이론에 빗대어 표현된 기사 표제이다. 정치에서도 카오스 이론을 이용하고 있다. “카오스 이론과 민심 잡기”라는 제목의 칼럼 내용은 이렇다. 전쟁 중에 어느 장수가 말을 끌고 와 편자를 갈아달라고 하는데, 대장장이는 귀찮아서 편자를 한 개 덜 박아 주게 된다. 이로 인해 장수는 말을 타고 들판을 질주하다가 편자가 빠져서 중심을 잃고 넘어져 적군에게 죽임을 당한다. 그리고 결국 장수가 죽어 나라가 망했다는 이야기이다. 즉 중요하지 않은 작은 편자로 인해 나라까지 망한다는 것을 빗대며, 작은 민심도 중요시해야 한다는 글인데, 작은 변화가 큰 결과를 초래할 수 있다는 카오스 이론을 활용했다. 이처럼 카오스 이론은 다양한 형태로 응용되고 있다. 특히, 경제학 분야의 응용이 두드러지는데, 80년대 미국의 월스트리트에 수학과 컴퓨터시뮬레이션에 능숙한 통계물리학자들이 진출했다. 이들은 주가지수 데이터를 분석하여 주가지수가 무작위적으로 변하는지, 어떤 규칙적인 패턴을 가지고 변하는지를 조사했는데, 이러한 시도는 '금융공학'이라는 학문으로 자리 잡아 오늘날 금융계 전반에 큰 영향을 미치고 있다.

카오스 이론은 질서를 가진 무질서를 연구하는 분야로 과학 분야 뿐 아니라 경제학 등 다양한 분야에서 활발하게 연구가 진행 중이다. <출처: Gettyimages>

작은 움직임 하나가 불러일으키는 큰 변화

요즘 나라 안팎으로 사회, 경제, 문화 등 모든 분야에서 시시각각 빠른 변화가 일어나고 있다. 그간 사회적으로 고정된 질서로 여겨져 왔던 많은 것들이 숨 가쁘게 변화하고 있다. 한편으로 보면 이 또한 이 사회를 구성했던 이전 세대들이 또 그전 세대들이 내뱉었던 작은 숨소리의 결과일 수도 있다. 오늘 우리의 작은 움직임 하나가 미래 생활에 어떤 효과를 불러일으킬 수 있을지는 아무도 예측할 수 없다. 지금의 내 작은 행동이 미래 엄청난 결과를 가져올 수 있다는 것을 생각하면 행동 하나하나가 조심스러워진다. 좀 과장된 표현이겠지만, 축구경기를 보고 나서 만약 이렇게 말하는 사람이 있다면, 아마 그 사람은 카오스 이론을 잘 알고 있는 사람일지도 모르겠다. “내가 TV를 보면 항상 우리나라가 지더라”